Matemática discreta Ejemplos

$x + 1 = \sqrt{6 x - 7} - 1$

Paso 1

Como el radical está en el lado derecho de la ecuación, cambia los lados para que quede en el lado izquierdo de la ecuación.

$\sqrt{6 x - 7} - 1 = x + 1$

Paso 2

Mueve todos los términos que no contengan $\sqrt{6 x - 7}$ al lado derecho de la ecuación.

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Paso 2.1

Suma $1$ a ambos lados de la ecuación.

$\sqrt{6 x - 7} = x + 1 + 1$

Paso 2.2

Suma $1$ y $1$ .

$\sqrt{6 x - 7} = x + 2$

Paso 3

Para eliminar el radical en el lazo izquierdo de la ecuación, eleva al cuadrado ambos lados de la ecuación.

${\sqrt{6 x - 7}}^{2} = {(x + 2)}^{2}$

Paso 4

Simplifica cada lado de la ecuación.

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Paso 4.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{6 x - 7}$ como ${(6 x - 7)}^{\frac{1}{2}}$ .

${({(6 x - 7)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(x + 2)}^{2}$

Paso 4.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 4.2.1

Simplifica ${({(6 x - 7)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Paso 4.2.1.1

Multiplica los exponentes en ${({(6 x - 7)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Paso 4.2.1.1.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(6 x - 7)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(x + 2)}^{2}$

Paso 4.2.1.1.2

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 4.2.1.1.2.1

Cancela el factor común.

${(6 x - 7)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(x + 2)}^{2}$

Paso 4.2.1.1.2.2

Reescribe la expresión.

${(6 x - 7)}^{1} = {(x + 2)}^{2}$

Paso 4.2.1.2

Simplifica.

$6 x - 7 = {(x + 2)}^{2}$

Paso 4.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 4.3.1

Simplifica ${(x + 2)}^{2}$ .

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Paso 4.3.1.1

Reescribe ${(x + 2)}^{2}$ como $(x + 2) (x + 2)$ .

$6 x - 7 = (x + 2) (x + 2)$

Paso 4.3.1.2

Expande $(x + 2) (x + 2)$ con el método PEIU (primero, exterior, interior, ultimo).

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Paso 4.3.1.2.1

Aplica la propiedad distributiva.

$6 x - 7 = x (x + 2) + 2 (x + 2)$

Paso 4.3.1.2.2

Aplica la propiedad distributiva.

$6 x - 7 = x \cdot x + x \cdot 2 + 2 (x + 2)$

Paso 4.3.1.2.3

Aplica la propiedad distributiva.

$6 x - 7 = x \cdot x + x \cdot 2 + 2 x + 2 \cdot 2$

Paso 4.3.1.3

Simplifica y combina los términos similares.

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Paso 4.3.1.3.1

Simplifica cada término.

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Paso 4.3.1.3.1.1

Multiplica $x$ por $x$ .

$6 x - 7 = x^{2} + x \cdot 2 + 2 x + 2 \cdot 2$

Paso 4.3.1.3.1.2

Mueve $2$ a la izquierda de $x$ .

$6 x - 7 = x^{2} + 2 \cdot x + 2 x + 2 \cdot 2$

Paso 4.3.1.3.1.3

Multiplica $2$ por $2$ .

$6 x - 7 = x^{2} + 2 x + 2 x + 4$

Paso 4.3.1.3.2

Suma $2 x$ y $2 x$ .

$6 x - 7 = x^{2} + 4 x + 4$

Paso 5

Resuelve $x$

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Paso 5.1

Como $x$ está en el lado derecho de la ecuación, cambia los lados para que quede en el lado izquierdo de la ecuación.

$x^{2} + 4 x + 4 = 6 x - 7$

Paso 5.2

Mueve todos los términos que contengan $x$ al lado izquierdo de la ecuación.

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Paso 5.2.1

Resta $6 x$ de ambos lados de la ecuación.

$x^{2} + 4 x + 4 - 6 x = - 7$

Paso 5.2.2

Resta $6 x$ de $4 x$ .

$x^{2} - 2 x + 4 = - 7$

Paso 5.3

Mueve todos los términos al lado izquierdo de la ecuación y simplifica.

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Paso 5.3.1

Suma $7$ a ambos lados de la ecuación.

$x^{2} - 2 x + 4 + 7 = 0$

Paso 5.3.2

Suma $4$ y $7$ .

$x^{2} - 2 x + 11 = 0$

Paso 5.4

Usa la fórmula cuadrática para obtener las soluciones.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Paso 5.5

Sustituye los valores $a = 1$ , $b = - 2$ y $c = 11$ en la fórmula cuadrática y resuelve $x$ .

$\frac{2 \pm \sqrt{{(- 2)}^{2} - 4 \cdot (1 \cdot 11)}}{2 \cdot 1}$

Paso 5.6

Simplifica.

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Paso 5.6.1

Simplifica el numerador.

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Paso 5.6.1.1

Eleva $- 2$ a la potencia de $2$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 1 \cdot 11}}{2 \cdot 1}$

Paso 5.6.1.2

Multiplica $- 4 \cdot 1 \cdot 11$ .

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Paso 5.6.1.2.1

Multiplica $- 4$ por $1$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 11}}{2 \cdot 1}$

Paso 5.6.1.2.2

Multiplica $- 4$ por $11$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 44}}{2 \cdot 1}$

Paso 5.6.1.3

Resta $44$ de $4$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{- 40}}{2 \cdot 1}$

Paso 5.6.1.4

Reescribe $- 40$ como $- 1 (40)$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{- 1 \cdot 40}}{2 \cdot 1}$

Paso 5.6.1.5

Reescribe $\sqrt{- 1 (40)}$ como $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{40}$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{40}}{2 \cdot 1}$

Paso 5.6.1.6

Reescribe $\sqrt{- 1}$ como $i$ .

$x = \frac{2 \pm i \cdot \sqrt{40}}{2 \cdot 1}$

Paso 5.6.1.7

Reescribe $40$ como $2^{2} \cdot 10$ .

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Paso 5.6.1.7.1

Factoriza $4$ de $40$ .

$x = \frac{2 \pm i \cdot \sqrt{4 (10)}}{2 \cdot 1}$

Paso 5.6.1.7.2

Reescribe $4$ como $2^{2}$ .

$x = \frac{2 \pm i \cdot \sqrt{2^{2} \cdot 10}}{2 \cdot 1}$

Paso 5.6.1.8

Retira los términos de abajo del radical.

$x = \frac{2 \pm i \cdot (2 \sqrt{10})}{2 \cdot 1}$

Paso 5.6.1.9

Mueve $2$ a la izquierda de $i$ .

$x = \frac{2 \pm 2 i \sqrt{10}}{2 \cdot 1}$

Paso 5.6.2

Multiplica $2$ por $1$ .

$x = \frac{2 \pm 2 i \sqrt{10}}{2}$

Paso 5.6.3

Simplifica $\frac{2 \pm 2 i \sqrt{10}}{2}$ .

$x = 1 \pm i \sqrt{10}$

Paso 5.7

La respuesta final es la combinación de ambas soluciones.

$x = 1 + i \sqrt{10}, 1 - i \sqrt{10}$